Ein mathematisches Modell zur Schätzung der Dunkelziffer von SARS-CoV-2-Infektionen in der Frühphase der Pandemie am Beispiel Deutschland und Italien

Um die Lücke zwischen wahrer und gemeldeter Prävalenz rechnerisch zu schließen, bestimmen wir die Unterschiede in den Infektionspotenzialen für die verschiedenen Altersgruppen und vergleichen diese mit den Unterschieden in den gemeldeten Prävalenzen. Dazu muss das altersabhängige Infektionspotenzial (bedingt durch Anzahl sozialer Kontakte, Empfänglichkeit für das Virus) aus den Prävalenzen herausgerechnet werden.

Bei der Auswahl der statistischen Werkzeuge haben wir auf unsere statistischen Kompetenzen in der Fahrzeugentwicklung¹ zurückgegriffen. Dort werden frühe Ausfälle (z. B. bei einem niedrigen Kilometerstand) zuerst von den Vielfahrern bemerkt. Für die Hersteller ist es bei solchen Ausfällen wichtig zu erkennen, ob das Einzelfälle sind oder ob sie alle ausgelieferten Fahrzeuge einer Baureihe betreffen. Will man früh, auf Basis gemeldeter Bauteilausfälle, verlässliche Prognosen ableiten, sieht man sich mit einem sog. Missing-Data-Problem konfrontiert. Durch begründete Annahmen über die monatlichen Fahrleistungen aller Fahrzeuge im Feld kann man dort auf die Dunkelziffer schließen.

Alle unsere Analysen beziehen sich auf die folgenden Datenquellen. Für Italien nutzen wir vornehmlich die Daten aus den Berichten des nationalen Gesundheitsinstituts Istituto Superiore di Sanità (ISS) [14], welche in regelmäßigen zeitlichen Abständen veröffentlicht werden und Informationen über die registrierten Infektionen in verschiedenen Altersgruppen enthalten. Für Deutschland nutzen wir hauptsächlich die Daten des Robert Koch-Instituts [15]. Einzelne Darstellungen, welche keine altersspezifischen Daten benötigen, basieren zusätzlich auf den Daten der Johns Hopkins University [16, 17]. Für die Altersverteilungen der Bevölkerungen nutzen wir die Daten von der Webseite „PopulationPyramid“ [18].

Als Referenzdatum wählen wir den 16.04.2020. Zu diesem Zeitpunkt ist in beiden Ländern schon das Maximum der ersten Welle erreicht worden (Abb. 1), sodass man die Dunkelziffer in den Frühphasen der nationalen Ausbrüche gut abschätzen kann.

Bei der Bestimmung der Dunkelziffer gehen wir davon aus, dass die Verbreitung des Virus in einer Gruppe proportional zu deren Infektionspotenzial erfolgt. Dieses Infektionspotenzial hängt von vielen verschiedenen Faktoren ab, wie bspw. der Anzahl der Kontakte und der Empfänglichkeit der Menschen in dieser Gruppe für das Virus. Gerade in der Frühphase einer Pandemie lässt sich das genaue Infektionspotenzial noch nicht gut abschätzen, da das Virus zu dem Zeitpunkt noch nicht gut verstanden wird.

Was allerdings schätzungsweise verfügbar ist, sind Kontaktzahlen innerhalb einer Gruppe. Die Anzahl der Kontakte korreliert nun stark mit den sozioökonomischen Faktoren, von denen sehr viele in der Praxis nicht hinreichend bekannt sind. Ein Faktor, für den dies bekannt und gut untersucht ist, ist das Alter (siehe [19] und [20]). Unser Modell bezieht sich auf die Frühphase einer Pandemie, in der die untersuchten und modellierten Kontaktzahlen noch nicht oder weniger stark von sanitären und sozialen Maßnahmen beeinflusst werden. Zu dem von uns betrachteten Zeitpunkt waren allerdings sowohl in Italien als auch in Deutschland solche Maßnahmen in Kraft, was sicherlich einen Einfluss auf die absoluten Kontaktzahlen hatte. Allerdings gehen wir für die beobachteten Zeiträume davon aus, dass sich die Maßnahmen relativ gesehen auf alle Altersgruppen eher gleichmäßig ausgewirkt haben. Damit nehmen wir an, dass sich die relativen Verhältnisse zwischen den Kontaktzahlen der verschiedenen Altersgruppen auch durch die Maßnahmen nicht stark geändert haben. Da die Ergebnisse unseres Modells nur von diesen relativen Unterschieden abhängen und nicht auf absolute Kontaktzahlen angewiesen sind, bedeutet diese Annahme auch keine großen Änderungen in unseren Ergebnissen.

Im Folgenden bezeichne \(P_{\mathrm{reg},i}=F_{\mathrm{reg},i}/B_{i}\) die Prävalenz der registrierten Fälle in der Altersgruppe i, wobei F_reg,i die Anzahl der registrierten Fälle in Altersgruppe i und B_i die Größe der zugehörigen Bevölkerungsgruppe ist. Mit K_i bezeichnen wir die zugehörigen relativen Kontaktzahlen, als deren Grundlagen uns die Ergebnisse aus [19] dienen, die in Tab. 1 zu finden sind. Wir modifizieren die relativen Kontaktzahlen für Kinder unter 10 Jahren, indem wir die zugehörigen Werte aus Tab. 1 durch den Faktor 2 teilen, um die angenommene geringere Infektionsempfänglichkeit von Kindern unter 10 Jahren zu berücksichtigen [21]. Weil die Aufteilung der Altersgruppen der registrierten Fälle für Deutschland und Italien nicht mit der aus Tab. 1 übereinstimmt, interpolieren wir die relativen Kontaktzahlen linear und erhalten damit insgesamt für jede Altersgruppe i der registrierten Fälle eine relative Kontaktzahl K_i.

Um zu bestimmen, welche Altersgruppe die Referenz für die Prävalenz darstellt, bilden wir im ersten Schritt die normalisierten (gemeldeten) Prävalenzen \(P_{\mathrm{norm},i}=P_{\mathrm{reg},i}/K_{i}\) für alle Altersgruppen. Die normalisierte Prävalenz modelliert daher einen Zustand, in welchem in der entsprechenden Bevölkerungsgruppe jeder Mensch im Mittel genau einen Kontakt hat.

Im zweiten Schritt bestimmen wir die maximale normalisierte Prävalenz \(P_{\mathrm{norm},\max }=\max _{\mathrm{i}}\left(P_{\mathrm{norm},i}\right)\) und nehmen diese dann als Referenz für alle Altersgruppen an.

Beim dritten Schritt multiplizieren wir diese einheitlichen Werte für jede Altersgruppe i wieder mit der zugehörigen relativen Kontaktzahl K_i und erhalten eine vorläufige Schätzung der wahren Prävalenz \(\tilde{P}_{i}=P_{\mathrm{norm},\max }\cdot K_{i}\).

Final berücksichtigen wir im vierten Schritt, dass viele Fälle aufgrund fehlender Symptome nicht auffallen. Da wir die Rate \(a_{i}=a\) dieser asymptomatischen Fälle für alle Altersgruppen als gleich annehmen, erhalten wir die (finale) Schätzung der wahren Prävalenz:

Sobald Daten vorliegen, mit denen der Anteil der asymptomatischen Fälle besser nach Altersgruppen aufgelöst werden kann, sollte das im Modell berücksichtigt werden. Die angepassten Fallzahlen berechnen sich hieraus, indem wir wieder mit den dazugehörigen Bevölkerungszahlen multiplizieren.

Um eventuelle Verteilungsunterschiede zwischen den Geschlechtern nicht zu übersehen, führen wir dieses Verfahren für Männer und Frauen getrennt durch und erhalten somit für beide Geschlechter eine angepasste Zahl an Infektionen.

Tab. 2 zeigt die gemeldeten Prävalenzen und die zugehörigen normalisierten Prävalenzen. Beispielsweise sehen wir für die Altersgruppe 80+ in Deutschland eine gemeldete Prävalenz von 0,226 %, was dividiert durch die relative Kontaktzahl von 0,81 eine normalisierte Prävalenz von 0,280 % ergibt. Die höchsten normalisierten Prävalenzen werden jeweils in den höchsten Altersgruppen beobachtet.

Die Ergebnisse des vorherigen Abschnitts zeigen, dass in beiden Ländern jeweils die Gruppe der ältesten Menschen die höchste normalisierte Prävalenz aufweist. Damit erhalten wir als Referenzwerte die hervorgehobenen normalisierten Prävalenzen aus Tab. 2. Für Deutschland ist der Referenzwert für Männer bei 0,280 % und für Frauen bei 0,282 %, während die Referenzwerte für Männer und Frauen in Italien bei 1,299 %, bzw. 1,498 % liegen.

Multiplizieren wir die bei allen Altersgruppen gleichgesetzten Referenzwerte des vorigen Abschnitts mit den zugehörigen relativen Kontaktzahlen und berücksichtigen wir die Rate der asymptomatischen Fälle, so erhalten wir die vorläufige Schätzung der wahren Prävalenzen. Für die Rate der asymptomatischen Fälle nehmen wir einen Wert von 22,2 % an, welchen wir aus den Ergebnissen der Studie von Streeck und Kollegen entnehmen [22]. Berechnen wir mithilfe der Bevölkerungszahlen die entsprechenden Infektionszahlen, so erhalten wir die Ergebnisse in Tab. 3. Dort ergibt sich der Wert für Kinder im Alter von 5–14 Jahren in Deutschland dadurch, dass wir einmal die Rechnung für Jungen und Mädchen separat durchführen und die Werte addieren. Für Mädchen sieht die Rechnung wie folgt aus: Der Referenzwert von 0,282 % wird erst mit der interpolierten relativen Kontaktzahl von 1,575 multipliziert, was eine Prävalenz von 0,444 % ergibt. Anschließend multiplizieren wir diesen Wert mit 0,75, um die halb so große Infektionsempfänglichkeit bei Kindern unter 10 Jahren zu berücksichtigen. Dieser Wert ergibt sich, da wir vereinfacht annehmen, dass die Altersgruppe 5–14 jeweils zur Hälfte aus Kindern unter und über 10 Jahren besteht. Danach multiplizieren wir weiter mit 3.637.732, der Anzahl der Mädchen in dieser Altersgruppe, und teilen durch 0,77, was die asymptomatischen Fälle berücksichtigt, und erhalten als finale Schätzung für die Zahl der infizierten Mädchen in dieser Altersgruppe 15.580. Addieren wir darauf die Fälle für die Jungen, welche auf gleiche Weise berechnet werden, so erhalten wir den Wert von 31.923 aus Tab. 3.

Für Deutschland bedeuten unsere Schätzungen, dass die Zahl aller Infektionen etwa 2,8-mal so groß ist wie die Zahl der registrierten. Für Italien beträgt dieser Faktor etwa 8,3. In beiden Ländern ist die Dunkelziffer der nicht registrierten Infektionen also höher als die Zahl der registrierten Fälle.

Über die geschätzten Infektionszahlen aus obigem Abschnitt lassen sich nun korrigierte Fallsterblichkeiten für alle Altersgruppen berechnen, wie in Abb. 3 dargestellt. Weil es in jeder Altersgruppe nicht entdeckte Fälle gibt, sind die korrigierten Fallsterblichkeiten für alle Altersgruppen niedriger als die unkorrigierten Fallsterblichkeiten. Wie erwartet liegen die Werte für Deutschland und Italien nun auch näher beieinander. Für die korrigierte Fallsterblichkeit über alle Altersgruppen hinweg erhalten wir 0,98 % für Deutschland, während es für Italien 1,51 % sind. Dies entspricht nun einem Faktor von 1,55. Des Weiteren sind die mittels unseres Modells geschätzten Fallsterblichkeiten für Italien monoton mit dem Lebensalter steigend, während bei den unkorrigierten Werten die Altersgruppe 90+ eine geringere Fallsterblichkeit aufweist als die Altersgruppe 80–89.